Para que el sitio web se abra siempre con https:// hay que crear un archivo llamado .htaccess (incluyendo el punto inicial) y ubicarlo dentro de public_html o en la carpeta del dominio o subdominio que desee cargar con el certificado SSL.
El contenido del .htaccess debe tener el siguiente código:
RewriteEngine On
RewriteCond %{SERVER_PORT} 80
RewriteRule ^(.*)$ https://AQUI_EL_DOMINIO.COM/$1 [R,L]
Solo reemplace AQUI_EL_DOMINIO.COM por la dirección web que va a abrir con https://, importante cada dominio debe tener su propio archivo .htaccess en su respectiva carpeta
Si su sitio web es diseñado con wordpress, lo mas recomendable es solo instalar el plugin Really Simple SSL
Puedes ver un tutorial aqui: https://youtu.be/2ssLdyP9an8