Para que el sitio web se abra siempre con https:// hay que crear un archivo llamado .htaccess (incluyendo el punto inicial) y ubicarlo dentro de public_html si el dominio es el principal y si es un dominio adicional en la carpeta del dominio
El contenido del .htaccess debe tener el siguiente código:
RewriteEngine On
RewriteCond %{SERVER_PORT} 80
RewriteRule ^(.*)$ https://AQUI_EL_DOMINIO.COM/$1 [R,L]
Puedes ver este video tutorial para ello:
Si su sitio web es diseñado con wordpress, lo mas recomendable es solo instalar el plugin Really Simple SSL
Puedes ver un tutorial aqui: